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【转载】等周定理  

2018-05-18 17:27:19|  分类: 科学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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本文转载自十四期—王梦杰《等周定理》

等周定理,又称等周不等式,是一个几何中的不等式定理,说明了欧几里得平面上的封闭图形的周长以及其面积之间的关系。其中的“等周”指的是周界的长度相等。等周定理说明在周界长度相等的封闭几何形状之中,以圆形的面积最大;另一个说法是面积相等的几何形状之中,以圆形的周界长度最小。这两种说法是等价的。它可以以不等式表达:若P为封闭曲线的周界长,A为曲线所包围的区域面积,4 \pi A \le P^2

虽然等周定理的结论早已为人所知,但要严格的证明这一点并不容易。首个严谨的数学证明直到19世纪才出现。之后,数学家们陆续给出了不同的证明,其中有不少是非常简单的。等周问题有许多不同的推广,例如在各种曲面而不是平面上的等周问题,以及在高维的空间中给定的表面或区域的最大边界长度问题等。

  在物理中,等周问题和跟所谓的最小作用量原理有关。一个直观的表现就是水珠的形状。在没有外力的情况下(例如失重的太空舱里),水珠的形状是完全对称的球体。这是因为当水珠体积一定时,表面张力会迫使水珠的表面积达到最小值。根据等周定理,最小值是在水珠形状为球状时达到。

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